Rabu, 30 Mei 2012

Matematika


Baris dan Deret
  1. BARISAN GEOMETRI

    U1, U2, U3, ......., Un-1, Un
     disebut barisan geometri, jika

    U1/U2
     = U3/U2 = .... = Un / Un-1 = konstanta

    Konstanta ini disebut
     pembanding / rasio (r)

    Rasio r = Un / Un-1

    Suku ke-n barisan geometri

    a, ar, ar² , .......arn-1
    U1, U2, U3,......,Un

    Suku ke n Un
     = arn-1 ® fungsi eksponen (dalam n)

  2. DERET GEOMETRI

    a + ar² + ....... + arn-1 disebut deret geometri
    a = suku awal
    r = rasio
    n = banyak suku

    Jumlah n suku

    Sn = a(rn-1)/r-1 , jika r>1
          = a(1-rn)/1-r , jika r<1
        ® Fungsi eksponen (dalam n)

    Keterangan:
    1. Rasio antara dua suku yang berurutan adalah tetap
    2. Barisan geometri akan naik, jika untuk setiap n berlaku 
      Un
       > Un-1
    3. Barisan geometri akan turun, jika untuk setiap n berlaku
      Un
       < Un-1

      Bergantian
       naik turun, jika r < 0
    4. Berlaku hubungan Un = Sn - Sn-1
    5. Jika banyaknya suku ganjil, maka suku tengah
                _______      __________
      Ut =
       Ö U1xUn    = Ö U2 X Un-1      dst.   
    6. Jika tiga bilangan membentuk suatu barisan geometri, maka untuk memudahkan perhitungan, misalkan bilangan-bilangan itu adalah a/r, a, ar

  3. DERET GEOMETRI TAK BERHINGGA

    Deret Geometri tak berhingga adalah
     penjumlahan dari

    U1
     + U2 + U3 + ..............................

    ¥
    å
     Un = a + ar + ar² .........................
    n=1 

    dimana
     n ® ¥ dan -1 < r < 1 sehingga rn ® 0 

    Dengan menggunakan rumus jumlah deret geometri didapat :

    Jumlah tak berhingga
        S¥ = a/(1-r)

    Deret geometri tak berhingga akan konvergen (mempunyai jumlah) untuk -1 < r < 1

    Catatan:


    a + ar + ar2
     + ar3 + ar4 + .................

    Jumlah suku-suku pada kedudukan ganjil

    a+ar2
     +ar4+ .......                     Sganjil = a / (1-r²)

    Jumlah suku-suku pada kedudukan genap

    a + ar3
     + ar5 + ......                  Sgenap = ar / 1 -r² 

    Didapat hubungan
     : Sgenap / Sganjil = r

PENGGUNAAN
Perhitungan BUNGA TUNGGAL (Bunga dihitung berdasarkan modal awal)
M0, M1, M2, ............., Mn
M1 = M0 + P/100 (1) M0 = {1+P/100(1)}M0
M2 = M0 + P/100 (2) M0 = {1+P/100(2)} M0
.
.
.
.
Mn =M0 + P/100 (n) M0 ® Mn = {1 + P/100 (n) } M0

Perhitungan BUNGA MAJEMUK (Bunga dihitung berdasarkan modal terakhir)
M0, M1, M2, .........., Mn
M1 = M0 + P/100 . M0 = (1 + P/100) M0
M2 = (1+P/100) M0 + P/100 (1 + P/100) M0 = (1 + P/100)(1+P/100)M0 
     = (1 + P/100)² M0
.
.
.
Mn = {1 + P/100}n M0
Keterangan :
M0 = Modal awal
Mn
 = Modal setelah n periode
p   = Persen per periode atau suku bunga
n   = Banyaknya periode
Catatan:
Rumus bunga majemuk dapat juga dipakai untuk masalah pertumbuhan tanaman, perkembangan bakteri (p > 0) dan juga untuk masalah penyusutan mesin, peluruhan bahan radio aktif (p < 0).

Macam bangun datar
Jenis bangun datar bermacam-macam, antara lain persegi, persegi panjang, segitiga, jajar genjang, trapesium, layang-layang, belah ketupat, dan lingkaran.

Nama-nama Bangun Datar
1.      Persegi Panjang, yaitu bangun datar yang mempunyai sisi berhadapan yang sama panjang, dan memiliki empat buah titik sudut siku-siku
2.      Persegi, yaitu persegi panjang yang semua sisinya sama panjang
3.      Segitiga, yaitu bangun datar yang terbentuk oleh tiga buah titik yang tidak segari
4.      Jajar Genjang, yaitu segi empat yang sisinya sepasang-sepasang sama panjang dan sejajar
5.      Trapesium, yaitu segi empat yang memiliki tepat sepasang sisi yang sejajar
6.      Layang-layang, yaitu segi empat yang salah satu diagonalnya memotong tegak lurus sumbu diagonal lainnya
7.      Belah Ketupat, yaitu segi empat yang semua sisinya sama panjang dan kedua diagonalnya saling berpotongan tegak lurus
8.      Lingkaran, yaitu bangun datar yang terbentuk dari himpunan semua titik persekitaran yang mengelilingi suatu titik asal dengan jarak yang sama. jarak tersebut biasanya dinamakan r, atau radius, atau jari-jari.

Rumus Bangun Datar
1.      Rumus Persegi
Luas = s x s = s2

Keliling = 4 x s
dengan s = panjang sisi persegi

2.      Rumus Persegi Panjang
Luas = p x l

Keliling = 2p + 2l = 2 x (p + l)
dengan p = panjang persegi panjang, dan l = lebar persegi panjang

3.      Rumus Segitiga
Luas = ½ x a x t
dengan a = panjang alas segitiga, dan t = tinggi segitiga

Panjang sisi miring segitiga siku-siku dicari dengan rumus Phytagoras (A2 + B2 = C2)

4.      Rumus Jajar Genjang
Luas = a x t
dengan a = panjang alas jajargenjang, dan t = tinggi jajargenjang

5.      Rumus Trapesium
Luas = ½ x (s1 + s2) x t
dengan s1 dan s2 = sisi-sisi sejajar pada trapesium, dan t = tinggi trapesium

6.      Rumus Layang-layang
Luas = ½ x diagonal (d) 1 x diagonal (d) 2

7.      Rumus Belah Ketupat
Luas = ½ x diagonal (d) 1 x diagonal (d) 2

8.      Rumus Lingkaran
Luas = π (pi) x jari-jari (r)

Sifat-sifat bangun datar
1.      Layang-layang = terbagi atas 2 digonal yang berbeda ukurannya
2.      Persegi = semua sisi-sisinya sama panjang, semua sudut sama besar
3.      Persegi panjang = sisi yang behadapan sama panjang, semua sudut sama besar
4.      Belah ketupat = semua sisi-sisinya sama panjang, sudut yang berhadapan sama besar
5.      Jajar genjang = sisi yang berhadapan sama panjang, sudut yang berhadapan sama besar
6.      Lingkaran = mamiliki simetri lipat dan simetri putar yang tak terhingga jumlahnya


Bangun Ruang
Rumus Kubus
- Volume : Sisi pertama dikali sisi kedua dikali sisi ketiga (S pangkat 3)

Rumus Balok
- Volume : Panjang dikali lebar dikali tinggi (p x l x t)

Rumus Bola
- Volume : phi dikali jari-jari dikali tinggi pangkat tiga kali 4/3 (4/3 x phi x r x t x t x t)
- Luas : phi dikali jari-jari kuadrat dikali empat (4 x phi x r x r)

Rumus Limas Segi Empat
- Volume : Panjang dikali lebar dikali tinggi dibagi tiga (p x l x t x 1/3)
- Luas : ((p + l) t) + (p x l)

Rumus Tabung
- Volume : phi dikali jari-jari dikali jari-jari dikali tinggi (phi x r2 x t)
- Luas : (phi x r x 2) x (t x r)

Rumus Kerucut
- Volume : phi dikali jari-jari dikali jari-jari dikali tinggi dibagi tiga (phi x r2 x t x 1/3)
- Luas : (phi x r) x (S x r)
- S : Sisi miring kerucut dari alas ke puncak (bukan tingi)

Rumus Prisma Segitiga Siku-siku
- Volume : alas segitiga kali tinggi segitiga kali tinggi prisma bagi dua (as x ts x tp x





1 komentar:

  1. Titanium Bike - TITanium Racing - TITIA ART
    Titanium bike by TITIA ART is a bicycle for the titanium nipple rings purpose of building 2020 ford edge titanium for sale an unbeatable performance bike for all purpose, all  Rating: 3 titanium for sale · titanium plate flat iron ‎5 reviews · titanium nitride coating service near me ‎$11.95

    BalasHapus